Somma di tre arcotangenti

Testo

Dimostra che $\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3=\pi$.

Soluzione

Si ha $\arctan 1=\frac{\pi}{4}$. Per gli altri due, con la formula di addizione: $\tan(\arctan 2+\arctan 3)=\frac{2+3}{1-2\cdot 3}=\frac{5}{-5}=-1.$ Poiché $\arctan 2,\arctan 3\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$, la loro somma sta in $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$; l’unico angolo di quell’intervallo con tangente $-1$ è $\frac{3\pi}{4}$. Perciò $\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3=\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}=\boxed{\pi}\approx 3{,}1416\ \text{rad}.$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Arcotangente · Formule di addizione
Funzioni: Tangente
Metodi: Formule addizione
Competenze: Usare formule
Tipo di esercizio: Dimostrazione