Somma di due arcotangenti

Testo

Dimostra che $\arctan\dfrac12+\arctan\dfrac13=\dfrac{\pi}{4}$.

Soluzione

Poniamo $\alpha=\arctan\frac12$ e $\beta=\arctan\frac13$, così $\tan\alpha=\frac12$, $\tan\beta=\frac13$. Per la formula di addizione: $\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\frac{\frac12+\frac13}{1-\frac12\cdot\frac13}=\frac{\frac56}{\frac56}=1.$ Poiché $\alpha,\beta\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right)$, la somma $\alpha+\beta$ sta in $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$; l’unico angolo di quell’intervallo con tangente $1$ è $\frac{\pi}{4}$. Dunque $\arctan\tfrac12+\arctan\tfrac13=\boxed{\dfrac{\pi}{4}}\approx 0{,}7854\ \text{rad}.$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Arcotangente · Formule di addizione
Funzioni: Tangente
Metodi: Formule addizione
Competenze: Usare formule
Tipo di esercizio: Dimostrazione