La formula di Erone come corollario

Combinando la formula trigonometrica dell’area con il teorema del coseno si arriva a una delle formule più famose della geometria: quella di Erone, che esprime l’area di un triangolo in funzione dei soli lati.

Osservazione — Formula di Erone come corollario

Combinando il teorema del coseno e la formula dell’area si può ricavare la formula di Erone $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \qquad s = \frac{a+b+c}{2} \ \text{(semiperimetro).}$ La dimostrazione è algebricamente laboriosa ma non concettualmente difficile: si isola $\cos\widehat{A}$ dal teorema del coseno, lo si sostituisce in $\sin^2\widehat{A}=1-\cos^2\widehat{A}$, e si esprime $S^2 = \left(\tfrac{1}{2}bc\sin\widehat{A}\right)^2$ in funzione di $a,b,c$. Ne parliamo negli esercizi.

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Area triangolo · Formula di erone · Teorema del coseno
Competenze: Dimostrare