Prodotto in somma con archi associati e Werner

Testo

Scrivi la seguente quantità come somma di seni e/o coseni: $\cos\left(\dfrac\pi2-x\right)\sin\left(2x+\dfrac\pi4\right).$

Soluzione

Con la formula degli archi associati $\cos\left(\dfrac\pi2-x\right)=\sin x$, la quantità diventa: $\sin x\,\sin\!\left(2x+\frac\pi4\right).$ Applichiamo la formula di Werner $\sin A\sin B = \tfrac12\left[\cos(A-B)-\cos(A+B)\right]$ con $A=x$ e $B=2x+\dfrac\pi4$: $\sin x\,\sin\!\left(2x+\frac\pi4\right) = \frac12\left[\cos\!\left(x+\frac\pi4\right)-\cos\!\left(3x+\frac\pi4\right)\right].$

$\boxed{\tfrac12\left[\cos\!\left(x+\tfrac\pi4\right)-\cos\!\left(3x+\tfrac\pi4\right)\right]}$

Collegamenti

Argomenti: Prostaferesi werner
Concetti: Formule di werner
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Formule werner
Competenze: Scomporre · Usare formule
Tipo di esercizio: Scomposizione