Somme di coseni in prodotto con prostaferesi

Testo

Scrivi le seguenti quantità come prodotto di seni e/o coseni:

(a) $\cos\left(2x+\dfrac\pi4\right)+\cos\left(\dfrac\pi6-x\right)$

(b) $\sin\left(2x+\dfrac\pi4\right)+\sin\left(\dfrac\pi6-x\right)$

(c) $\sin\left(2x+\dfrac\pi4\right)-\sin\left(\dfrac\pi6-x\right)$

Soluzione

Poniamo $p=2x+\dfrac\pi4$ e $q=\dfrac\pi6-x$. Allora: $\frac{p+q}{2} = \frac x2+\frac{5\pi}{24}, \qquad \frac{p-q}{2} = \frac{3x}2+\frac\pi{24}.$

(a) Con la formula $\cos p+\cos q = 2\cos\tfrac{p+q}2\cos\tfrac{p-q}2$: $\cos p+\cos q = 2\cos\!\left(\frac x2+\frac{5\pi}{24}\right)\cos\!\left(\frac{3x}2+\frac\pi{24}\right).$

(b) Con la formula $\sin p+\sin q = 2\sin\tfrac{p+q}2\cos\tfrac{p-q}2$: $\sin p+\sin q = 2\sin\!\left(\frac x2+\frac{5\pi}{24}\right)\cos\!\left(\frac{3x}2+\frac\pi{24}\right).$

(c) Con la formula $\sin p-\sin q = 2\cos\tfrac{p+q}2\sin\tfrac{p-q}2$: $\sin p-\sin q = 2\cos\!\left(\frac x2+\frac{5\pi}{24}\right)\sin\!\left(\frac{3x}2+\frac\pi{24}\right).$

$\boxed{\text{i tre prodotti sopra}}$

Collegamenti

Argomenti: Prostaferesi werner
Concetti: Formule di prostaferesi
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Formule prostaferesi
Competenze: Scomporre · Usare formule
Tipo di esercizio: Scomposizione