Il teorema di Tolomeo e le corde dell'Almagesto

Le formule di addizione hanno una storia lunghissima, che precede di oltre mille anni la notazione moderna con seno e coseno. I matematici greci non usavano il seno di un angolo, ma la corda dell’arco corrispondente: fissato un cerchio, alla corda $\text{crd}(\theta)$ associavano la lunghezza del segmento che sottende un arco di ampiezza $\theta$. Il legame con il seno è semplice: in un cerchio di raggio $R$ si ha $\text{crd}(\theta) = 2R\,\sin\!\frac{\theta}{2}.$

La prima tavola delle corde di cui abbiamo notizia si deve a Ipparco di Nicea (II sec. a.C.), considerato il fondatore della trigonometria. Fu però Claudio Tolomeo, nel suo grande trattato astronomico Almagesto (II sec. d.C.), a costruirne una versione di straordinaria precisione, con le corde tabulate di mezzo grado in mezzo grado (Boyer, Katz).

Il teorema di Tolomeo

Lo strumento chiave di quel calcolo è un elegante risultato di geometria, oggi noto come teorema di Tolomeo: in un quadrilatero inscritto in una circonferenza, il prodotto delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti dei lati opposti. Detto $ABCD$ il quadrilatero ciclico, $AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot DA.$

Applicando questo teorema a quadrilateri opportuni, con un lato coincidente con il diametro, Tolomeo ricavò le relazioni tra la corda della somma e la corda della differenza di due archi. Tradotte nel linguaggio moderno, quelle relazioni sono esattamente le formule di addizione e sottrazione che usiamo oggi: ad esempio la costruzione che porta a $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ è, nella sostanza, un caso particolare del teorema di Tolomeo (Dunham, Katz).

Da queste identità, e da una raffinata stima della corda di $1°$ ottenuta per interpolazione, Tolomeo poté compilare una tavola che rimase insuperata in Europa fino al Rinascimento. È un bell’esempio di come un teorema puramente geometrico — un’affermazione sui quadrilateri inscritti — sia diventato il motore di calcolo dell’astronomia antica.

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Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di addizione
Persone: Claudio Tolomeo · Ipparco di Nicea