Le condizioni sulla base

Nella definizione della funzione esponenziale la base $a$ non è un numero qualsiasi: deve essere positiva e diversa da $1$. Vediamo perché nessuna di queste condizioni può essere lasciata cadere.

Attenzione — Le condizioni sulla base

Le condizioni $a>0$ e $a\ne 1$ sono essenziali:

• Se $a = 0$: $0^x$ non è definito per $x\le 0$.
• Se $a < 0$: $a^{1/2}=\sqrt{a}$ non esiste in $\mathbb{R}$, quindi la funzione non sarebbe definita su tutto $\mathbb{R}$.
• Se $a = 1$: $1^x = 1$ per ogni $x$, cioè una funzione costante, senza alcun interesse.

Solo scegliendo $a>0$ e $a\ne 1$ otteniamo una funzione definita su tutta la retta reale e realmente “interessante”, cioè strettamente crescente o strettamente decrescente.

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