Dalle potenze alla funzione esponenziale

Le potenze le conosciamo già: sappiamo calcolare $a^n$ per esponenti naturali, interi negativi e razionali. Il passo nuovo consiste nell’ammettere che $a^x$ abbia senso per ogni esponente reale, così da poter parlare di una vera e propria funzione $\exp_a$. Perché questa funzione sia “buona” occorre però scegliere con cura la base: deve essere positiva e diversa da $1$.

• Dalle potenze alla funzione esponenziale
• Le condizioni sulla base

We already know about powers: we can compute $a^n$ for natural, negative integer and rational exponents. The new step consists in admitting that $a^x$ makes sense for every real exponent, so that we can speak of a genuine function $\exp_a$. For this function to be “well behaved”, however, the base must be chosen with care: it must be positive and different from $1$.

• From powers to the exponential function
• The conditions on the base

In Prima abbiamo definito $a^n$ per $n$ naturale (prodotto di $n$ copie di $a$), e in Seconda lo abbiamo esteso agli esponenti interi negativi ($a^{-n}=1/a^n$), a quelli razionali ($a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$) e abbiamo enunciato le proprietà delle potenze:

$a^x \cdot a^y = a^{x+y},\quad \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad (a^x)^y = a^{xy},\quad (ab)^x = a^x b^x.$

Queste proprietà erano state dimostrate solo per esponenti razionali. In Terza facciamo il passo successivo: accettiamo come fatto (dimostrabile con strumenti dell’Analisi) che $a^x$ sia ben definito per ogni $x\in\mathbb{R}$ — non solo razionale — e che le stesse proprietà continuino a valere. L’oggetto che ne risulta è una funzione vera e propria.

Definizione — Funzione esponenziale

Fissato un numero reale $a > 0$, $a \ne 1$, la funzione esponenziale di base $a$ è $\exp_a:\ \mathbb{R}\to(0;+\infty),\qquad \exp_a(x) = a^x.$

Il dominio è tutto $\mathbb{R}$: possiamo elevare la base a qualunque esponente reale. Il codominio è invece l’insieme dei reali positivi: una potenza a base positiva non è mai nulla né negativa.

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Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Base · Potenza · Proprieta delle potenze
Funzioni: Funzione esponenziale

In Year 1 we defined $a^n$ for natural $n$ (product of $n$ copies of $a$), and in Year 2 we extended it to negative integer exponents ($a^{-n}=1/a^n$), to rational ones ($a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$) and we stated the laws of powers:

$a^x \cdot a^y = a^{x+y},\quad \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad (a^x)^y = a^{xy},\quad (ab)^x = a^x b^x.$

These laws had been proved only for rational exponents. In Year 3 we take the next step: we accept as a fact (provable with the tools of Analysis) that $a^x$ is well defined for every $x\in\mathbb{R}$ — not only rational — and that the same laws continue to hold. The resulting object is a function in the full sense.

Definition — Exponential function

Given a real number $a > 0$, $a \ne 1$, the exponential function with base $a$ is $\exp_a:\ \mathbb{R}\to(0;+\infty),\qquad \exp_a(x) = a^x.$

The domain is the whole of $\mathbb{R}$: we can raise the base to any real exponent. The codomain, on the other hand, is the set of positive reals: a power with a positive base is never zero nor negative.

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Topics: Exponential function
Concepts: Base · Power · Laws of powers
Functions: Exponential function

Nella definizione della funzione esponenziale la base $a$ non è un numero qualsiasi: deve essere positiva e diversa da $1$. Vediamo perché nessuna di queste condizioni può essere lasciata cadere.

Attenzione — Le condizioni sulla base

Le condizioni $a>0$ e $a\ne 1$ sono essenziali:

• Se $a = 0$: $0^x$ non è definito per $x\le 0$.
• Se $a < 0$: $a^{1/2}=\sqrt{a}$ non esiste in $\mathbb{R}$, quindi la funzione non sarebbe definita su tutto $\mathbb{R}$.
• Se $a = 1$: $1^x = 1$ per ogni $x$, cioè una funzione costante, senza alcun interesse.

Solo scegliendo $a>0$ e $a\ne 1$ otteniamo una funzione definita su tutta la retta reale e realmente “interessante”, cioè strettamente crescente o strettamente decrescente.

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Concetti: Base
Funzioni: Funzione esponenziale

In the definition of the exponential function the base $a$ is not just any number: it must be positive and different from $1$. Let us see why neither of these conditions can be dropped.

Warning — The conditions on the base

The conditions $a>0$ and $a\ne 1$ are essential:

• If $a = 0$: $0^x$ is not defined for $x\le 0$.
• If $a < 0$: $a^{1/2}=\sqrt{a}$ does not exist in $\mathbb{R}$, so the function would not be defined on the whole of $\mathbb{R}$.
• If $a = 1$: $1^x = 1$ for every $x$, that is a constant function, of no interest whatever.

Only by choosing $a>0$ and $a\ne 1$ do we obtain a function defined on the whole real line and genuinely “interesting”, that is strictly increasing or strictly decreasing.

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