Inversa su dominio ristretto

Testo

Sia $f(x)=x^{2}-6x$ ristretta a $x\ge 3$. Mostra che su questo dominio è invertibile, trova l’inversa e calcola $f^{-1}(0)$.

Soluzione

Completando il quadrato, $f(x)=(x-3)^{2}-9$: il vertice della parabola è in $x=3$, quindi per $x\ge 3$ la funzione è strettamente crescente, dunque iniettiva e invertibile. Pongo $y=(x-3)^{2}-9$: con $x\ge 3$ si ha $x-3\ge 0$, quindi $x-3=\sqrt{y+9}\;\Rightarrow\; f^{-1}(x)=3+\sqrt{x+9}.$ $f^{-1}(0)=3+\sqrt{9}=6.$ $\boxed{\,f^{-1}(x)=3+\sqrt{x+9},\quad f^{-1}(0)=6\,}$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione inversa · Iniettivita · Monotonia
Competenze: Risolvere equazioni · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione