Valutazione di una funzione a tratti

Testo

Sia $f(x)=\begin{cases} x+2 & \text{se } x<1,\\[2pt] x^{2} & \text{se } x\ge 1.\end{cases}$

• (a) Calcola $f(-3)$, $f(1)$ e $f(2)$.
• (b) Stabilisci se $f$ è iniettiva.

Soluzione

(a) Poiché $-3<1$ uso il primo ramo: $f(-3)=-3+2=-1$. Poiché $1\ge 1$ e $2\ge 1$ uso il secondo: $f(1)=1^{2}=1$, $f(2)=2^{2}=4$. (b) Sul ramo $x<1$ i valori sono $x+2\in(-\infty,3)$; sul ramo $x\ge 1$ sono $x^{2}\in[1,+\infty)$. I due rami si sovrappongono nell’intervallo $[1,3)$, dove uno stesso valore proviene da due $x$ distinti: quindi $f$ non è iniettiva. $\boxed{\,f(-3)=-1,\ f(1)=1,\ f(2)=4;\ \text{non iniettiva}\,}$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione definita a tratti · Iniettivita
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione