Insieme immagine di una parabola

Testo

Considera $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^{2}-4x+7$. Determina l’insieme immagine e stabilisci se $f$ è suriettiva.

Soluzione

Completo il quadrato: $f(x)=x^{2}-4x+7=(x-2)^{2}+3.$ Poiché $(x-2)^{2}\ge 0$, si ha $f(x)\ge 3$, con minimo $3$ raggiunto in $x=2$. Al crescere di $|x|$ la funzione cresce senza limite, quindi l’immagine è $[3,+\infty)$. Non tutti i reali sono immagini (ad esempio $0$ non lo è), quindi $f$ non è suriettiva su $\mathbb{R}$. $\boxed{\,\operatorname{Im}f=[3,+\infty),\quad y_{min}=3\ \text{in}\ x=2\,}$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Insieme immagine · Suriettivita
Competenze: Studiare funzione · Usare formule
Tipo di esercizio: Studio di funzione