Inversa di una funzione omografica

Testo

Data $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$, determina la funzione inversa e calcola $f^{-1}(0)$.

Soluzione

Pongo $y=\dfrac{2x-1}{x+3}$ e ricavo $x$: $y(x+3)=2x-1\;\Rightarrow\; yx+3y=2x-1\;\Rightarrow\; x(y-2)=-1-3y,$ $x=\frac{-1-3y}{y-2}=\frac{3y+1}{2-y}.$ Quindi $f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{2-x}$, e $f^{-1}(0)=\frac{0+1}{2-0}=\frac12.$ $\boxed{\,f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{2-x},\quad f^{-1}(0)=\tfrac12\,}$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione inversa · Iniettivita
Competenze: Risolvere equazioni · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione