Iniettività di una cubica

Testo

Data $f(x)=x^{3}+2x$, mostra che è iniettiva su $\mathbb{R}$ e determina $f^{-1}(3)$.

Soluzione

Iniettività. Se $x_1<x_2$ allora $x_1^{3}<x_2^{3}$ (il cubo è crescente) e $2x_1<2x_2$; sommando, $x_1^{3}+2x_1<x_2^{3}+2x_2$, cioè $f(x_1)<f(x_2)$. Dunque $f$ è strettamente crescente, quindi iniettiva. Valore dell’inversa. Cerco $x$ con $x^{3}+2x=3$. Provo $x=1$: $1+2=3$. Poiché $f$ è iniettiva, questa è l’unica soluzione: $\boxed{\,f^{-1}(3)=1\,}$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione inversa · Iniettivita · Monotonia
Competenze: Dimostrare · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione