Regioni del piano definite da disequazioni

Testo

Considera i due insiemi di punti del piano $A = \{(x;y)\mid y^2 -x^2 -2x \ge 10\}, \qquad B = \{(x;y)\mid 2x + y \le 4\}.$

• (a) rappresenta $A\cap B$ (bordo continuo o tratteggiato secondo il caso);
• (b) rappresenta $B - A$ (differenza insiemistica);
• (c) stabilisci se $P(0;0)$, $Q(-2;1)$, $R(3;-3)$ appartengono ad $A\cap B$.

(La parte iniziale dell’esercizio, con tre figure da interpretare, è omessa perché dipende da immagini.)

Soluzione

Il bordo di $A$ è $y^2-x^2-2x=10$, cioè $y^2-(x+1)^2=9$: un’iperbole verticale di centro $(-1;0)$, $a=3$. $A$ è la regione “interna” ai rami (dove $y^2-(x+1)^2\ge9$); bordo continuo ($\ge$). $B$ è il semipiano $2x+y\le4$, bordo continuo.

(a) $A\cap B$: i punti che stanno sia dentro l’iperbole sia sotto/sulla retta $2x+y=4$.

(b) $B-A$: i punti del semipiano $B$ che non stanno in $A$ (esterni all’iperbole).

(c) Verifichiamo la condizione di $A$, $y^2-x^2-2x\ge10$:

• $P(0;0)$: $0\ge10$? No → $P\notin A$.
• $Q(-2;1)$: $1-4+4=1\ge10$? No → $Q\notin A$.
• $R(3;-3)$: $9-9-6=-6\ge10$? No → $R\notin A$.

Nessuno dei tre appartiene ad $A$, quindi nessuno appartiene ad $A\cap B$ (pur stando tutti in $B$).

$\boxed{P,Q,R\notin A\cap B}$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Iperbole · Operazioni tra insiemi · Regione del piano
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema geometrico