Iniettività, suriettività e insieme immagine

Testo

Rispondi a ciascuna richiesta:

• (a) rappresenta con un diagramma di Venn (insiemi e frecce) una funzione iniettiva ma non suriettiva;
• (b) rappresenta il grafico di una funzione a tua scelta iniettiva ma non suriettiva, indicando dominio, codominio e insieme immagine;
• (c) rappresenta con un diagramma di Venn una funzione suriettiva ma non iniettiva;
• (d) rappresenta il grafico di una funzione a tua scelta suriettiva ma non iniettiva, indicando dominio, codominio e insieme immagine;
• (e) determina l’insieme immagine di: (i) $y=-x^2+x+1$; (ii) l’ellisse di centro $(2;-3)$ e semiassi $a=2,\ b=3$; (iii) l’iperbole $-x^2+2y^2=1$.

Soluzione

(a) Es.: $A=\{1,2\}\to B=\{p,q,r\}$ con $1\mapsto p$, $2\mapsto q$: ogni elemento di $A$ ha immagine distinta (iniettiva), ma $r$ non è raggiunto (non suriettiva).

(b) Es.: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=e^x$: iniettiva (sempre crescente), immagine $(0;+\infty)\subsetneq\mathbb{R}$, quindi non suriettiva. Dominio $\mathbb{R}$, codominio $\mathbb{R}$, immagine $(0;+\infty)$.

(c) Es.: $A=\{1,2,3\}\to B=\{p,q\}$ con $1\mapsto p$, $2\mapsto q$, $3\mapsto q$: tutti gli elementi di $B$ sono raggiunti (suriettiva), ma $2$ e $3$ hanno la stessa immagine (non iniettiva).

(d) Es.: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3-x$: immagine $\mathbb{R}$ (suriettiva) ma non iniettiva. Dominio $\mathbb{R}$, codominio $\mathbb{R}$, immagine $\mathbb{R}$.

(e) (i) parabola con massimo in $x=\tfrac12$, $y_{max}=\tfrac54$: immagine $\left(-\infty;\tfrac54\right]$. (ii) l’ordinata varia di $\pm b=\pm3$ attorno a $-3$: immagine $[-6;0]$. (iii) $-x^2+2y^2=1\Rightarrow y^2\ge\tfrac12$: immagine $\left(-\infty;-\tfrac{\sqrt2}{2}\right]\cup\left[\tfrac{\sqrt2}{2};+\infty\right)$.

$\boxed{\text{(i) }\left(-\infty,\tfrac54\right];\ \text{(ii) } [-6,0];\ \text{(iii) } |y|\ge\tfrac{\sqrt2}{2}}$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Dominio codominio · Iniettivita · Insieme immagine · Suriettivita
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Problema geometrico