Composizione di una funzione con sé stessa

Testo

Data $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$, determina $(f\circ f)(x)$ semplificata, il suo dominio e calcola $(f\circ f)(3)$.

Soluzione

Sostituisco $f(x)$ al posto di $x$: $(f\circ f)(x)=\frac{1}{f(x)-1}=\frac{1}{\dfrac{1}{x-1}-1}=\frac{1}{\dfrac{1-(x-1)}{x-1}}=\frac{x-1}{2-x}.$ Devono valere $x\ne 1$ (per $f$) e $x\ne 2$ (per la seconda applicazione): $D=\mathbb{R}\setminus\{1,2\}$. $(f\circ f)(3)=\frac{3-1}{2-3}=\frac{2}{-1}=-2.$ $\boxed{\,(f\circ f)(x)=\dfrac{x-1}{2-x},\ D=\mathbb{R}\setminus\{1,2\},\quad (f\circ f)(3)=-2\,}$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Composizione di funzioni · Dominio naturale · Funzione composta
Competenze: Calcolare · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione