Classificare funzioni dai loro grafici

Testo

Per ognuno dei seguenti grafici (funzioni $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$) determina se si tratta di una funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca, o nessuna delle precedenti. (grafici nel compito originale)

• (a) parabola $y=x^2-1$ (vertice in $(0;-1)$, concavità verso l’alto);
• (b) esponenziale $y=e^{x/3{,}1}$ (crescente, sempre positiva);
• (c) $y=3\tanh\!\left(\tfrac{x}{3}\right)$ (crescente, compresa tra gli asintoti $y=-3$ e $y=3$);
• (d) retta $y=\tfrac{x}{2}+1$.

Soluzione

Si usa il test della retta orizzontale (iniettività: ogni orizzontale taglia al più una volta) e si guarda l’insieme immagine (suriettività su $\mathbb{R}$: l’immagine è tutto $\mathbb{R}$).

• (a) La parabola è simmetrica: una stessa $y$ proviene da due $x$ ⇒ non iniettiva; inoltre $y\ge-1$ ⇒ non suriettiva. Nessuna delle precedenti.
• (b) L’esponenziale è strettamente crescente ⇒ iniettiva; ma $y>0$ ⇒ non suriettiva. Iniettiva non suriettiva.
• (c) La tangente iperbolica è strettamente crescente ⇒ iniettiva; l’immagine è $(-3;3)$ ⇒ non suriettiva. Iniettiva non suriettiva.
• (d) La retta (non costante) è crescente e assume tutti i valori reali ⇒ iniettiva e suriettiva ⇒ biunivoca. $\boxed{\ (a)\ \text{nessuna};\ \ (b)\ \text{iniettiva};\ \ (c)\ \text{iniettiva};\ \ (d)\ \text{biunivoca}\ }$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione biiettiva · Grafico di funzione · Iniettivita · Suriettivita
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Problema geometrico