Diagramma di Venn di relazioni con proprietà assegnate

Testo

Disegna il diagramma a frecce di una relazione tra un insieme $A$ dei sette giorni della settimana e un insieme $B$ dei sette vizi capitali (ira, superbia, lussuria, gola, avarizia, accidia, invidia) in modo che:

• (a) la relazione non sia una funzione;
• (b) la relazione sia una funzione iniettiva ma non suriettiva;
• (c) la relazione sia una funzione suriettiva ma non iniettiva;
• (d) la relazione sia una funzione biunivoca.

Se serve, puoi aggiungere o togliere qualche vizio in $B$. Spiega ogni disegno. (figura nel compito originale)

Soluzione

Chiamiamo i giorni $g_1,\dots,g_7$ (dominio $A$) e i vizi elementi di $B$. La chiave è controllare le frecce uscenti da $A$ (per la definizione di funzione) e quelle entranti in $B$ (per iniettività/suriettività).

• (a) Non funzione: basta violare l’unicità dell’immagine. Es. far partire due frecce da $g_1$ (verso ira e gola), oppure lasciare $g_2$ senza freccia. In entrambi i casi $A$ non è dominio di una funzione.
• (b) Iniettiva non suriettiva: ogni giorno una freccia, tutte verso vizi diversi; con $|B|>7$ (aggiungi un ottavo vizio) resta almeno un vizio non raggiunto. Frecce distinte ⇒ iniettiva; vizio scoperto ⇒ non suriettiva.
• (c) Suriettiva non iniettiva: riduci $B$ a meno di $7$ vizi (es. $6$); ogni giorno una freccia e ogni vizio raggiunto (suriettiva), ma per il principio dei cassetti almeno due giorni finiscono sullo stesso vizio ⇒ non iniettiva.
• (d) Biunivoca: $|A|=|B|=7$, ogni giorno una freccia verso un vizio diverso e tutti i vizi raggiunti: corrispondenza uno-a-uno. $\boxed{\ \text{(a) doppia/mancante freccia};\ \text{(b) } |B|=8 \text{ tutte distinte};\ \text{(c) } |B|=6 \text{ con una coincidenza};\ \text{(d) } |B|=7 \text{ tutte distinte}\ }$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione biiettiva · Iniettivita · Relazione · Suriettivita
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Problema geometrico