Composizione di funzioni con diagrammi di Venn

Testo

Sono date due funzioni tramite diagrammi di Venn.

• La funzione $g$ manda l’insieme $\{1,2,3,4,5\}$ nell’insieme di icone $\{\text{sole},\text{fulmine},\text{albero},\text{caffè},\text{cuore}\}$ con: $1\to\text{sole}$, $2\to\text{albero}$, $3\to\text{albero}$, $4\to\text{caffè}$, $5\to\text{cuore}$.

• La funzione $f$ manda l’insieme $\{A,B,C,D\}$ nell’insieme $\{1,2,3,4,5\}$ con: $A\to 2$, $B\to 3$, $C\to 2$, $D\to 5$.

• (a) Rappresenta la funzione $h=g\circ f$ in un ulteriore diagramma.

• (b) Stabilisci qual è l’insieme immagine di $f$ e quale quello di $g$.

(diagrammi nel compito originale)

Soluzione

(a) Per definizione $h(x)=g\big(f(x)\big)$ (si applica prima $f$, poi $g$): $h(A)=g(2)=\text{albero},\quad h(B)=g(3)=\text{albero},\quad h(C)=g(2)=\text{albero},\quad h(D)=g(5)=\text{cuore}.$

(b) L’insieme immagine raccoglie i soli valori effettivamente raggiunti: $\operatorname{Im}(f)=\{2,3,5\},\qquad \operatorname{Im}(g)=\{\text{sole},\text{albero},\text{caffè},\text{cuore}\}.$ (Nessuno raggiunge $\text{fulmine}$, quindi $g$ non è suriettiva; inoltre $2$ e $3$ hanno la stessa immagine tramite $g$, quindi $g$ non è iniettiva.) Coerentemente $\operatorname{Im}(h)=\{\text{albero},\text{cuore}\}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Composizione di funzioni · Dominio codominio · Insieme immagine
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Problema geometrico