Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche da diagrammi a frecce

Testo

Per ognuno dei seguenti diagrammi a frecce fra l’insieme $A=\{\text{Alice, Beth, Cara, Dana, Eve}\}$ e un insieme di ragazzi, determina se la relazione è una funzione e, in caso affermativo, se è iniettiva, suriettiva o biunivoca. (figure nel compito originale)

• (a) $B=\{$Alex, Bob, Carl, Dave, Eli, Fred$\}$; frecce: Alice→Alex, Beth→Bob, Cara→Carl, Dana→Dave, Eve→Fred.
• (b) stesso $B$; frecce: Alice→Alex, Alice→Carl, Beth→Alex, Dana→Dave, Eve→Fred (Cara senza freccia).
• (c) $B=\{$Alex, Bob, Carl, Dave, Eli$\}$; frecce: Alice→Alex, Beth→Bob, Cara→Carl, Dana→Dave, Eve→Eli.
• (d) $B=\{$Alex, Bob, Carl, Dave$\}$; frecce: Alice→Alex, Beth→Bob, Cara→Bob, Dana→Dave, Eve→Carl.

Soluzione

Una funzione associa a ogni elemento di $A$ uno e un solo elemento di $B$. È iniettiva se elementi diversi hanno immagini diverse; suriettiva se ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un elemento; biunivoca se è iniettiva e suriettiva insieme.

• (a) Ogni ragazza ha esattamente una freccia, tutte verso ragazzi distinti: è funzione iniettiva; però Eli non è raggiunto, quindi non suriettiva.
• (b) Alice ha due frecce e Cara nessuna: non è una funzione.
• (c) Ogni ragazza una freccia verso ragazzi distinti, e tutti e cinque i ragazzi sono raggiunti: funzione biunivoca.
• (d) Ogni ragazza una freccia (funzione); Beth e Cara vanno entrambe su Bob → non iniettiva; tutti e quattro i ragazzi sono raggiunti → suriettiva. $\boxed{\ (a)\ \text{iniettiva non suriettiva};\ \ (b)\ \text{non è funzione};\ \ (c)\ \text{biunivoca};\ \ (d)\ \text{suriettiva non iniettiva}\ }$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione biiettiva · Iniettivita · Relazione · Suriettivita
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Problema geometrico