Funzione iniettiva non suriettiva con Venn e grafico

Testo

Rappresenta, con un diagramma di Venn (insiemi e frecce) e anche con una rappresentazione a grafico nel piano cartesiano, una funzione iniettiva ma non suriettiva che lega un insieme di $4$ elementi a un insieme di $5$ elementi.

Soluzione

Condizioni. Una funzione da $A$ (dominio) a $B$ (codominio) è:

• iniettiva se elementi distinti hanno immagini distinte (nessuna «freccia doppia» in arrivo);
• suriettiva se ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un elemento di $A$.

Con $|A|=4$ e $|B|=5$ la funzione non può essere suriettiva: le $4$ frecce raggiungono al più $4$ dei $5$ elementi di $B$, quindi almeno uno resta scoperto. Basta allora scegliere $4$ immagini tutte diverse per ottenere una funzione iniettiva ma non suriettiva. Esempio: $A=\{a,b,c,d\}$, $B=\{1,2,3,4,5\}$, con $a\mapsto 1,\ b\mapsto 2,\ c\mapsto 3,\ d\mapsto 4$; l’elemento $5$ non è immagine di nessuno.

Grafico cartesiano. Ponendo $A=\{1,2,3,4\}$ sull’asse $x$ e leggendo le immagini sull’asse $y$, la stessa funzione è la nuvola di punti $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)$: nessuna ordinata si ripete (iniettiva), ma il valore $5$ del codominio non compare mai (non suriettiva). L’insieme immagine è $\{1,2,3,4\}\subsetneq B$.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Dominio codominio · Iniettivita · Insieme immagine · Suriettivita
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Problema geometrico