Funzioni con proprietà assegnate (2)

Testo

Scrivi una funzione (diversa per ogni punto) che:

• (a) abbia un minimo relativo in $x=0$ ma non sia derivabile in tale punto;
• (b) abbia un asintoto obliquo di pendenza $m=-1$;
• (c) abbia un asintoto verticale in $x=-1$ e un asintoto orizzontale in $y=0$;
• (d) abbia un flesso in $x=4$ in cui la funzione ha anche derivata zero.

Soluzione

Esercizio di costruzione: si richiede un esempio valido per ciascuna proprietà.

(a) Il valore assoluto ha un minimo con un punto angoloso nell’origine: $\boxed{y=|x|}$ Ha minimo relativo (e assoluto) $0$ in $x=0$; lì le derivate destra ($+1$) e sinistra ($-1$) sono diverse, quindi non è derivabile in $x=0$.

(b) Pendenza $-1$ significa asintoto $y=-x+q$; basta aggiungere a $-x$ un termine infinitesimo: $\boxed{y=-x+\dfrac{1}{x}}$ Per $x\to\pm\infty$ si ha $y-(-x)=\dfrac1x\to0$, quindi $y=-x$ è asintoto obliquo di pendenza $-1$.

(c) Iperbole traslata con polo in $x=-1$ e limite $0$ all’infinito: $\boxed{y=\dfrac{1}{x+1}}$ Per $x\to-1$ si ha $y\to\pm\infty$: asintoto verticale $x=-1$. Per $x\to\pm\infty$ si ha $y\to0$: asintoto orizzontale $y=0$.

(d) Una cubica traslata: flesso a tangente orizzontale in $x=4$: $\boxed{y=(x-4)^{3}}$ Infatti $y'=3(x-4)^2$ si annulla in $x=4$ (derivata zero) e $y''=6(x-4)$ cambia segno in $x=4$: c’è un flesso con tangente orizzontale.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Asintoto · Asintoto obliquo · Asintoto orizzontale · Asintoto verticale · Flesso · Massimi minimi relativi · Valore assoluto
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Disegno grafico