Il test della retta orizzontale

Per una funzione reale di variabile reale, iniettività e suriettività si riconoscono guardando come le rette orizzontali incontrano il grafico. Confrontiamo $y=x^2$ (non iniettiva) e $y=x^3$ (iniettiva): la retta $y=3$ interseca la prima in due punti, la seconda in uno solo.

$y=x^2$ non è iniettiva: la retta $y=3$ la incontra in due punti, di ascisse $x=\pm\sqrt{3}\approx\pm 1{,}73$.

$y=x^3$ è iniettiva: la retta $y=3$ la incontra in un solo punto, di ascissa $x=\sqrt[3]{3}\approx 1{,}44$.

Osservazione — Test grafici

Per una funzione reale di variabile reale, con grafico nel piano cartesiano:

• $f$ è iniettiva $\iff$ ogni retta orizzontale interseca il grafico in al più un punto.
• $f$ è suriettiva (sul codominio $\mathbb{R}$) $\iff$ ogni retta orizzontale interseca il grafico in almeno un punto.
• $f$ è biunivoca $\iff$ ogni retta orizzontale interseca il grafico in esattamente un punto.

Esempio

• $f(x)=x^2$ su $\mathbb{R}$ non è iniettiva ($f(2)=f(-2)=4$) né suriettiva su $\mathbb{R}$ (non raggiunge valori negativi).
• $f(x)=x^3$ su $\mathbb{R}$ è iniettiva e suriettiva: biunivoca.
• $f(x)=\tfrac{1}{x}$ su $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ verso $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ è biunivoca.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione biiettiva · Funzione iniettiva · Funzione suriettiva · Test retta orizzontale
Funzioni: Funzione cubica · Funzione omografica · Parabola
Competenze: Interpretare grafico · Tracciare grafico