Iniettività, suriettività, biunivocità

Non tutte le funzioni si comportano allo stesso modo di fronte alla domanda “quanti ingressi finiscono sullo stesso valore?” e “tutti i valori del codominio vengono raggiunti?”. Le risposte definiscono tre proprietà fondamentali — iniettività, suriettività e biunivocità — che si leggono a colpo d’occhio sul grafico con il test della retta orizzontale.

• Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche
• Il test della retta orizzontale

Not all functions behave the same way when faced with the questions “how many inputs end up on the same value?” and “are all the values of the codomain reached?”. The answers define three fundamental properties — injectivity, surjectivity and bijectivity — which can be read at a glance on the graph with the horizontal line test.

• Injective, surjective and bijective functions
• The horizontal line test

Tre proprietà classificano le funzioni in base a come “coprono” il codominio.

Definizione — Iniettiva, suriettiva, biunivoca

Una funzione $f:A\to B$ si dice:

• iniettiva se $x_1\ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2)$, cioè se a elementi distinti del dominio corrispondono immagini distinte;
• suriettiva se $\mathrm{Im}(f) = B$, cioè se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio;
• biunivoca (o bigettiva) se è sia iniettiva sia suriettiva.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione biiettiva · Funzione iniettiva · Funzione suriettiva · Immagine

Three properties classify functions according to how they “cover” the codomain.

Definition — Injective, surjective, bijective

A function $f:A\to B$ is said to be:

• injective if $x_1\ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2)$, that is, if distinct elements of the domain correspond to distinct images;
• surjective if $\mathrm{Im}(f) = B$, that is, if every element of the codomain is the image of at least one element of the domain;
• bijective (or one-to-one and onto) if it is both injective and surjective.

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Topics: Functions and properties
Concepts: Bijective function · Injective function · Surjective function · Image

Per una funzione reale di variabile reale, iniettività e suriettività si riconoscono guardando come le rette orizzontali incontrano il grafico. Confrontiamo $y=x^2$ (non iniettiva) e $y=x^3$ (iniettiva): la retta $y=3$ interseca la prima in due punti, la seconda in uno solo.

$y=x^2$ non è iniettiva: la retta $y=3$ la incontra in due punti, di ascisse $x=\pm\sqrt{3}\approx\pm 1{,}73$.

$y=x^3$ è iniettiva: la retta $y=3$ la incontra in un solo punto, di ascissa $x=\sqrt[3]{3}\approx 1{,}44$.

Osservazione — Test grafici

Per una funzione reale di variabile reale, con grafico nel piano cartesiano:

• $f$ è iniettiva $\iff$ ogni retta orizzontale interseca il grafico in al più un punto.
• $f$ è suriettiva (sul codominio $\mathbb{R}$) $\iff$ ogni retta orizzontale interseca il grafico in almeno un punto.
• $f$ è biunivoca $\iff$ ogni retta orizzontale interseca il grafico in esattamente un punto.

Esempio

• $f(x)=x^2$ su $\mathbb{R}$ non è iniettiva ($f(2)=f(-2)=4$) né suriettiva su $\mathbb{R}$ (non raggiunge valori negativi).
• $f(x)=x^3$ su $\mathbb{R}$ è iniettiva e suriettiva: biunivoca.
• $f(x)=\tfrac{1}{x}$ su $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ verso $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ è biunivoca.

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Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione biiettiva · Funzione iniettiva · Funzione suriettiva · Test retta orizzontale
Funzioni: Funzione cubica · Funzione omografica · Parabola
Competenze: Interpretare grafico · Tracciare grafico

For a real function of a real variable, injectivity and surjectivity can be recognised by looking at how horizontal lines meet the graph. Let us compare $y=x^2$ (not injective) and $y=x^3$ (injective): the line $y=3$ intersects the first at two points, the second at just one.

$y=x^2$ is not injective: the line $y=3$ meets it at two points, with abscissae $x=\pm\sqrt{3}\approx\pm 1{,}73$.

$y=x^3$ is injective: the line $y=3$ meets it at a single point, with abscissa $x=\sqrt[3]{3}\approx 1{,}44$.

Remark — Graphical tests

For a real function of a real variable, with graph in the Cartesian plane:

• $f$ is injective $\iff$ every horizontal line intersects the graph at at most one point.
• $f$ is surjective (onto the codomain $\mathbb{R}$) $\iff$ every horizontal line intersects the graph at at least one point.
• $f$ is bijective $\iff$ every horizontal line intersects the graph at exactly one point.

Example

• $f(x)=x^2$ on $\mathbb{R}$ is neither injective ($f(2)=f(-2)=4$) nor surjective onto $\mathbb{R}$ (it does not reach negative values).
• $f(x)=x^3$ on $\mathbb{R}$ is injective and surjective: bijective.
• $f(x)=\tfrac{1}{x}$ from $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ to $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ is bijective.

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Concepts: Bijective function · Injective function · Surjective function · Horizontal line test
Functions: Cubic function · Homographic function · Parabola
Skills: Interpreting a graph · Sketching a graph