Apollonio e le sfere di Dandelin

La definizione dell’ellisse come luogo a somma di distanze costante è comoda per il calcolo, ma non spiega il nome della curva né il suo legame con il cono. Per capirlo bisogna risalire alla geometria greca e poi fare un salto di venti secoli fino a un’elegante dimostrazione ottocentesca.

Apollonio e le sezioni coniche

Nel III secolo a.C. Apollonio di Perga raccolse nelle sue Coniche lo studio sistematico delle curve che si ottengono tagliando un cono con un piano. Fu lui a introdurre i nomi ellisse, parabola e iperbole, presi dal vocabolario dei problemi di applicazione delle aree: il termine ellisse (dal greco élleipsis, “mancanza”, “difetto”) indica che una certa area risulta in difetto rispetto a un quadrato di confronto. Apollonio studiò queste curve con metodi puramente geometrici, senza coordinate e senza alcun riferimento ai fuochi: l’idea che l’ellisse fosse anche il luogo a somma di distanze costante era già nota agli antichi, ma il legame tra le due descrizioni — la sezione del cono e la proprietà focale — restava tutt’altro che ovvio.

Le sfere di Dandelin

Solo nel 1822 il matematico belga Germinal Pierre Dandelin trovò una dimostrazione tanto semplice quanto sorprendente di quel legame. Immaginiamo di tagliare un cono con un piano che ne produca un’ellisse. Nella regione tra il piano e il vertice inseriamo due sfere, ciascuna inscritta nel cono (cioè tangente lateralmente lungo una circonferenza) e tangente al piano di taglio: una “sopra” e una “sotto” la sezione. Queste due sfere si chiamano oggi sfere di Dandelin, e toccano il piano esattamente nei due fuochi $F_1$ e $F_2$ dell’ellisse.

L’argomento sfrutta un solo fatto elementare: due segmenti di tangente condotti da uno stesso punto a una sfera hanno la stessa lunghezza. Sia $P$ un punto qualunque dell’ellisse e tracciamo la generatrice del cono che passa per $P$: essa tocca le due sfere in due punti, $A$ e $B$. Allora il segmento $PF_1$ e il segmento $PA$ sono entrambi tangenti alla sfera superiore da $P$, dunque $PF_1 = PA$; analogamente $PF_2 = PB$. Sommando, $PF_1 + PF_2 = PA + PB = AB,$ e $AB$ è la distanza, misurata lungo il cono, tra le due circonferenze di tangenza: una quantità che non dipende dal punto $P$ scelto. Ritroviamo così, per pura geometria dello spazio, la definizione focale $d(P,F_1) + d(P,F_2) = 2a$, con $2a = AB$. È il ponte che unisce l’ellisse di Apollonio, nata dal taglio del cono, all’ellisse dei fuochi che disegniamo con chiodi e spago (Boyer; Stillwell).

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Argomenti: Ellisse
Concetti: Ellisse · Fuochi
Persone: Apollonio di Perga · Germinal Pierre Dandelin