Intersezione tra retta e circonferenza

Testo

Trova l’intersezione tra la circonferenza di centro $C(3;4)$ e raggio $4$ e la retta $y=-2x+5$.

Soluzione

La circonferenza è $(x-3)^2+(y-4)^2=16$. Sostituendo $y=-2x+5$: $(x-3)^2+(-2x+1)^2=16 \implies 5x^2-10x+10=16 \implies 5x^2-10x-6=0.$ $x=\frac{10\pm\sqrt{100+120}}{10}=1\pm\frac{\sqrt{55}}{5}, \qquad \frac{\sqrt{55}}{5}\approx1{,}483.$ Quindi $x_1\approx2{,}48$, $x_2\approx-0{,}48$; da $y=-2x+5$ si ha $y=3\mp\tfrac{2\sqrt{55}}{5}$, cioè $y_1\approx0{,}03$, $y_2\approx5{,}97$. $\boxed{\ P_1\approx(2{,}48;\ 0{,}03), \qquad P_2\approx(-0{,}48;\ 5{,}97)\ }$ Poiché il discriminante è positivo, la retta è secante (due punti di intersezione).

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Equazione circonferenza · Intersezione retta circonferenza
Metodi: Circonferenza intersezione
Competenze: Geometria analitica
Tipo di esercizio: Problema geometrico