La nascita della geometria analitica

Il capitolo che stiamo studiando è nato in Francia negli anni Trenta del Seicento, con un’idea tanto semplice quanto rivoluzionaria: una curva del piano si può descrivere con un’equazione tra due coordinate. Prima di allora, dai tempi di Euclide e Apollonio, la geometria era fatta di costruzioni con riga e compasso e di proporzioni tra segmenti; l’algebra, allora giovane, viveva separata. Riunirle significò poter calcolare la geometria.

Cartesio e la Géométrie (1637)

René Descartes — italianizzato in Cartesio — pubblicò La Géométrie come una delle tre appendici del suo Discours de la méthode (1637). In quell’opera egli mostra come, fissato un segmento di riferimento e una direzione, ogni punto di una curva possa essere individuato da due lunghezze variabili, che oggi chiamiamo $x$ e $y$; a un problema geometrico corrisponde allora un’equazione tra $x$ e $y$, e viceversa (Boyer). Non è ancora il nostro sistema di due assi ortogonali con le coordinate negative — quello si affermerà più tardi — ma il principio è esattamente quello che usiamo per ricavare l’equazione di un luogo: si prende un punto generico $P(x;y)$ e si traduce in algebra la proprietà che lo caratterizza.

Fermat e i luoghi

Quasi negli stessi anni, e in modo del tutto indipendente, Pierre de Fermat era arrivato alla stessa idea nella sua Ad locos planos et solidos isagoge (Introduzione ai luoghi piani e solidi), circolata come manoscritto prima della Géométrie di Cartesio. Fermat parte proprio dal concetto di luogo — l’oggetto di questo capitolo — e stabilisce che «ogni volta che due quantità incognite compaiono in un’equazione, si ha un luogo, e l’estremità di una di esse descrive una linea» (Katz). Egli riconobbe che le equazioni di primo grado danno rette e quelle di secondo grado le coniche, classificando in questo modo curve come la parabola e l’ellisse che noi ritroviamo, più avanti, sotto la definizione unificante.

Le due opere hanno stili diversi — Cartesio parte dai problemi da costruire, Fermat dalle equazioni da interpretare — ma insieme fondano quella che oggi chiamiamo geometria analitica, il ponte tra algebra e geometria che rende possibile tutto il piano cartesiano (Kline).

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Luogo geometrico · Piano cartesiano
Competenze: Geometria analitica
Persone: René Descartes (Cartesio) · Pierre de Fermat