Problema — Tangenti a sessanta gradi

Testo

Da un punto $A$ esterno a una circonferenza di centro $O$ e raggio $r = 5$ si conducono le due tangenti, che toccano la circonferenza in $B$ e in $C$ e formano fra loro un angolo $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Calcolare la distanza $\overline{OA}$ e la lunghezza dei segmenti di tangenza, e confrontare $\overline{AO}$, $\overline{AB}$, $\overline{AC}$.

Soluzione

La retta $AO$ è bisettrice dell’angolo formato dalle due tangenti, quindi $\widehat{BAO} = 30^\circ$. Il triangolo $OBA$ è rettangolo in $B$, perciò $\sin\widehat{BAO} = \frac{\overline{OB}}{\overline{OA}} \implies \overline{OA} = \frac{r}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{1/2} = 10.$ Il segmento di tangenza vale $\overline{AB} = \sqrt{\overline{OA}^{\,2} - r^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66,$ e $\overline{AC} = \overline{AB}$ (segmenti di tangenza dallo stesso punto). Confrontando i tre segmenti si ha $\overline{AO} = 10 > \overline{AB} = \overline{AC} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$. $\boxed{\overline{OA} = 10, \qquad \overline{AB} = \overline{AC} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Angolo al centro · Tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Problema geometrico