Problema — Triangolo equilatero dalle tangenti

Testo

Da un punto $A$ esterno a una circonferenza di centro $O$ e raggio $r = 4$, con $\overline{OA} = 2r$, si conducono le due tangenti, che toccano la circonferenza in $B$ e in $C$. Dimostrare che il triangolo $ABC$ è equilatero e calcolare l’ampiezza dell’angolo al centro $\widehat{BOC}$ e la lunghezza del segmento di tangenza $AB$.

Soluzione

Il triangolo $OBA$ è rettangolo in $B$, perché il raggio $OB$ è perpendicolare alla tangente. Si ha $\sin\widehat{BAO} = \frac{\overline{OB}}{\overline{OA}} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} \implies \widehat{BAO} = 30^\circ.$ Per simmetria anche $\widehat{CAO} = 30^\circ$, perciò $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Inoltre $\overline{AB} = \overline{AC}$ (segmenti di tangenza da uno stesso punto): il triangolo $ABC$ è isoscele con angolo al vertice di $60^\circ$, dunque è equilatero. Nel quadrilatero $OBAC$ gli angoli in $B$ e in $C$ sono retti e $\widehat{BAC} = 60^\circ$; poiché la somma degli angoli interni è $360^\circ$, $\widehat{BOC} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ.$ La lunghezza del segmento di tangenza vale $\overline{AB} = \sqrt{\overline{OA}^{\,2} - r^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93.$ $\boxed{\widehat{BOC} = 120^\circ, \qquad \overline{AB} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Angolo al centro · Tangente · Triangolo equilatero
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Problema geometrico