Media aritmetica e media geometrica

Un risultato elegante che ha anche una bellissima interpretazione geometrica sulla circonferenza: la media aritmetica di due numeri positivi è sempre almeno tanto grande quanto la loro media geometrica.

Teorema — Disuguaglianza tra le medie

La media aritmetica di due numeri positivi è sempre $\ge$ della media geometrica: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}, \qquad \forall\, a,b > 0.$ L’uguaglianza vale se e solo se $a=b$.

L’interpretazione geometrica: su una semicirconferenza di diametro $a+b$, il raggio $\frac{a+b}{2}$ (che va dal centro a un punto della circonferenza) è sempre maggiore o uguale all’altezza $\sqrt{ab}$ relativa all’ipotenusa.

L’altezza $CH=\sqrt{ab}$ non supera mai il raggio $CO=\frac{a+b}{2}$.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Media aritmetica · Media geometrica
Competenze: Dimostrare