Raggio della circonferenza inscritta

La circonferenza inscritta in un triangolo è tangente a tutti e tre i lati. Il suo raggio ha un’espressione molto semplice in funzione dell’area e del semiperimetro.

Teorema — Raggio dell'inscritta

Il raggio $r$ della circonferenza inscritta in un triangolo di area $S$ e perimetro $2p$ è: $r = \frac{2S}{2p} = \frac{S}{p}$ dove $p$ è il semiperimetro.

Il centro $O$ (incentro) è equidistante dai tre lati: $OH\cong OK\cong OR=r$.

Dimostrazione — $r = S/p$

1. La circonferenza inscritta è tangente a tutti i lati, quindi $OH\perp AB$, $OK\perp BC$, $OR\perp AC$, con $OH\cong OK\cong OR = r$.
2. Scomponiamo il triangolo $ABC$ in tre sotto-triangoli — $\triangle ABO$, $\triangle BCO$, $\triangle ACO$ — ciascuno con altezza pari al raggio $r$: $S_{ABC} = \frac{AB\cdot r}{2}+\frac{BC\cdot r}{2}+\frac{AC\cdot r}{2} = \frac{(AB+BC+AC)\cdot r}{2} = \frac{2p\cdot r}{2}.$
3. Dunque $S = p\cdot r$, cioè $r = \dfrac{S}{p}$.

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Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Circonferenza inscritta
Competenze: Dimostrare · Usare formule