Tangenti da un punto esterno

Da un punto esterno a una circonferenza partono esattamente due tangenti, e i due segmenti tangenti godono di una proprietà notevole: sono congruenti.

Teorema — Due tangenti da un punto esterno

Da un punto $P$ esterno a una circonferenza si possono tracciare esattamente due tangenti. I segmenti tangenti $PA$ e $PB$ sono congruenti: $PA\cong PB$.

I raggi $OA$ e $OB$ sono perpendicolari alle tangenti nei punti di tangenza; $OP$ è l’ipotenusa comune dei due triangoli rettangoli.

Dimostrazione — Segmenti tangenti congruenti

1. Ipotesi: $PA$ e $PB$ tangenti, quindi $OA\perp PA$ e $OB\perp PB$, con $OA\cong OB$ (raggi).
2. Congiungiamo $O$ con $P$.
3. Esaminiamo i triangoli rettangoli $PAO$ e $PBO$:
   • $OA\cong OB$ (raggi)
   • $OP$ ipotenusa in comune
   • $\widehat{OAP}=\widehat{OBP}=90°$
4. Per il criterio ipotenusa-cateto: $\triangle PAO\cong\triangle PBO$, dunque $PA\cong PB$.

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Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica