Eratostene e la misura della Terra

Verso il 240 a.C. Eratostene di Cirene, direttore della Biblioteca di Alessandria, riuscì a misurare la circonferenza della Terra con un esperimento di sorprendente semplicità, fondato interamente sulla geometria dei triangoli simili e delle ombre.

Eratostene sapeva che a Siene (l’odierna Assuan), a mezzogiorno del solstizio d’estate, il Sole illuminava il fondo di un pozzo: i suoi raggi cadevano dunque perfettamente verticali. Nello stesso istante, ad Alessandria — situata quasi sullo stesso meridiano, più a nord — un’asta verticale (uno gnomone) proiettava un’ombra. Misurando il rapporto tra la lunghezza dell’ombra e l’altezza dell’asta, Eratostene trovò che i raggi solari formavano con la verticale un angolo di circa $7,2°$, cioè un cinquantesimo dell’angolo giro ($360° / 7,2° = 50$).

Poiché il Sole è lontanissimo, i suoi raggi arrivano paralleli. L’angolo dell’ombra ad Alessandria è quindi uguale — per il criterio degli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale — all’angolo al centro della Terra sotteso dall’arco tra le due città. Vale allora la proporzione tra angoli e archi corrispondenti:

$\frac{7,2°}{360°} = \frac{d}{C},$

dove $d$ è la distanza Siene–Alessandria e $C$ la circonferenza terrestre. Le carovane stimavano quella distanza in circa $5000$ stadi, e dunque

$C = 50 \cdot 5000 = 250\,000 \text{ stadi}.$

A seconda del valore attribuito allo stadio, il risultato corrisponde a circa $39\,000$–$46\,000$ km, straordinariamente vicino al valore reale di circa $40\,000$ km. L’intuizione decisiva è la stessa che governa i triangoli simili: quando due configurazioni condividono gli stessi angoli, le grandezze corrispondenti — qui archi e angoli al centro — restano in proporzione, e da una misura locale (un’ombra) si risale a una misura globale (l’intero pianeta) (Boyer; Katz).

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Rapporto di similitudine · Similitudine
Persone: Eratostene