Contare i triangoli interi di perimetro 15

Testo

Con $15$ stuzzicadenti uguali, quanti triangoli diversi si possono formare usando un numero intero di stuzzicadenti per lato? (I lati devono soddisfare la disuguaglianza triangolare: ciascun lato è minore della somma degli altri due.)

Soluzione

Cerchiamo le terne $a\ge b\ge c\ge 1$ con $a+b+c=15$ e $a<b+c$, cioè $a<7{,}5$, dunque $a\le 7$:

• $a=7$: $b+c=8$, con $b\le 7$ e $b\ge c$: $\ (7,1),(6,2),(5,3),(4,4)$ → $4$
• $a=6$: $b+c=9$, con $b\le 6$ e $b\ge c$: $\ (6,3),(5,4)$ → $2$
• $a=5$: $b+c=10$, con $b\le 5$: $\ (5,5)$ → $1$

In totale $4+2+1=\boxed{7}$ triangoli.

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Disuguaglianza triangolare · Triangolo
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema combinatorio