Plimpton 322, il gougu e le molte dimostrazioni

Il legame $a^2+b^2=c^2$ tra i lati di un triangolo rettangolo compare, in forme diverse, in tutte le grandi civiltà matematiche dell’antichità, molto prima che la scuola pitagorica ne desse — probabilmente — la prima dimostrazione generale.

La tavoletta babilonese Plimpton 322

La testimonianza più antica e sorprendente è la tavoletta d’argilla babilonese nota come Plimpton 322, redatta in scrittura cuneiforme intorno al 1800 a.C. Le sue colonne di numeri, scritti nel sistema sessagesimale (base 60), contengono quindici righe che si leggono come terne pitagoriche: accanto a casi semplici compaiono numeri enormi, come la terna $(119,\,120,\,169)$ o addirittura $(3367,\,3456,\,4825)$, impossibili da individuare per tentativi. Gli scribi babilonesi possedevano dunque un metodo sistematico per generare triangoli rettangoli con lati interi, più di mille anni prima di Pitagora (Katz, Boyer).

Il gougu cinese

In Cina lo stesso teorema è chiamato gougu (勾股), dai nomi dei due cateti: gou il lato corto, gu il lato lungo, mentre l’ipotenusa è detta xian. Nel classico Zhoubi Suanjing (attorno al I secolo a.C.) il commentatore Zhao Shuang allega il celebre diagramma dell’ipotenusa: quattro triangoli rettangoli uguali disposti attorno a un quadratino centrale compongono un grande quadrato di lato $c$. Un semplice conto sulle aree, $c^2 = 4\cdot\frac{ab}{2} + (b-a)^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2+b^2,$ dimostra il teorema per pura equiscomponibilità, senza bisogno di proporzioni (Katz).

Euclide e le centinaia di dimostrazioni

Nel mondo greco la dimostrazione entra negli Elementi di Euclide come Proposizione I.47, con la figura ribattezzata nel medioevo pons asinorum o «sedia della sposa»: l’altezza relativa all’ipotenusa taglia il quadrato grande in due rettangoli, ciascuno equivalente al quadrato costruito su un cateto — esattamente la dimostrazione per equivalenza che usiamo ancora oggi. È forse il teorema più dimostrato della storia: nel volume The Pythagorean Proposition Elisha Loomis raccolse 371 dimostrazioni distinte, tra cui quella trovata nel 1876 da James Garfield, futuro presidente degli Stati Uniti, basata sull’area di un trapezio (Maor, Dunham).

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Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Equiscomponibilita · Equivalenza · Teorema di pitagora · Terne pitagoriche
Persone: Elisha Loomis · Euclide · James Garfield · Zhao Shuang