Esempi di equazioni irrazionali risolte

Due esempi svolti che mostrano il metodo all’opera: nel primo l’equazione non ha soluzioni, nel secondo una delle due soluzioni è estranea e va scartata.

Esempio 1 — Nessuna soluzione

$x - 2\sqrt{x+1} + 3 = 0$.

Isoliamo: $-2\sqrt{x+1} = -3-x \implies \sqrt{x+1} = \dfrac{x+3}{2}$.

C.E.: $x+1\ge 0 \implies x\ge -1$.

C.C.S.: $\dfrac{x+3}{2}\ge 0 \implies x\ge -3$.   C.E. totale: $x\ge -1$.

Eleviamo al quadrato: $x+1 = \frac{(x+3)^2}{4} \implies 4x+4 = x^2+6x+9 \implies x^2+2x+5=0$ $\Delta = 4-20 = -16 < 0$: nessuna soluzione.

Esempio 2 — Una soluzione estranea da scartare

$\sqrt{8-x}-2x+6=0$.

Isoliamo: $\sqrt{8-x}=2x-6$.

C.E.: $8-x\ge 0 \implies x\le 8$.

C.C.S.: $2x-6\ge 0 \implies x\ge 3$.   C.E. totale: $3\le x\le 8$.

Eleviamo al quadrato: $8-x = (2x-6)^2 = 4x^2-24x+36 \implies 4x^2-23x+28=0$ $\Delta = 529-448 = 81 = 9^2$ $x_A = \frac{23+9}{8} = 4 \quad(\checkmark\ \text{in } [3,8]), \qquad x_B = \frac{23-9}{8} = \frac{7}{4} \quad(\tfrac{7}{4}<3,\ \text{scartata})$

Verifica: $\sqrt{8-4}-2(4)+6 = 2-8+6 = 0$ ✓.

Soluzione: $\boxed{x=4}$.

Collegamenti

Argomenti: Radicali
Concetti: Equazione irrazionale · Soluzione estranea
Metodi: Equazione irrazionale elevamento
Competenze: Risolvere equazioni