Rettangolo di perimetro 24 con area massima

Testo

Tra tutti i rettangoli di perimetro $24$, determina quello di area massima e il valore di tale area.

Soluzione

Se un lato misura $x$, l’altro misura $12-x$ (poiché la semisomma dei lati vale $12$), con $0<x<12$. L’area è $A(x)=x(12-x)$. Per la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica dei due fattori positivi $x$ e $12-x$: $\sqrt{x(12-x)}\le\frac{x+(12-x)}{2}=6\implies A(x)=x(12-x)\le 36.$ L’uguaglianza si ha per $x=12-x$, cioè $x=6$: il rettangolo è un quadrato di lato $6$. $\boxed{A_{\max}=36\ \text{ per } x=6.}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Massimo · Media aritmetica · Media geometrica
Competenze: Ottimizzare
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione