Minimo di $f(x)=x+\dfrac{9}{x}$ per $x>0$

Testo

Determina il valore minimo di $f(x)=x+\frac{9}{x},\qquad x>0,$ e il punto in cui viene assunto.

Soluzione

Applichiamo la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica ai due addendi positivi $x$ e $\dfrac9x$: $\frac{x+\frac9x}{2}\ge\sqrt{x\cdot\frac9x}=\sqrt9=3\implies x+\frac9x\ge 6.$ L’uguaglianza (e quindi il minimo) si ha quando $x=\dfrac9x$, cioè $x^2=9$ e, poiché $x>0$, $x=3$. $\boxed{f_{\min}=6\ \text{ in } x=3.}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Massimo minimo · Media aritmetica · Media geometrica
Competenze: Ottimizzare
Tipo di esercizio: Problema di ottimizzazione