Disequazione di terzo grado

Il primo esempio completo di studio del segno: una disequazione di terzo grado. Si scompone in tre fattori di primo grado, si trovano i capisaldi e si compila la tabella dei segni.

Esempio — Disequazione di terzo grado

Risolvere $x^3-5x^2+6x\le 0$.

Passo 1 — Scomponi in fattori: $x^3-5x^2+6x = x(x^2-5x+6) = x(x-3)(x-2) \le 0$

Passo 2 — Associa i fattori alle rette: $f_1:\; y = x, \quad f_2:\; y = x-3, \quad f_3:\; y=x-2.$

Passo 3 — Capisaldi e grafico:

Ogni fattore è una retta; il caposaldo è il punto in cui interseca l’asse $x$.

Passo 4 — Tabella dei segni:

	$x<0$	$x=0$	$0<x<2$	$x=2$	$2<x<3$	$x=3$	$x>3$
$f_1=x$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$f_2=x-2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f_3=x-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f_1\cdot f_2\cdot f_3$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Osservazione — Regola dei segni

In ogni intervallo si contano i segni $-$ dei fattori; se sono in numero pari il prodotto è $+$, se dispari è $-$.

Soluzione: cerchiamo dove $\le 0$ (segno $-$ o zero): $\boxed{x \le 0 \;\;\text{oppure}\;\; 2\le x\le 3}$

Verifica veloce: per $x=-1$: $(-1)(-3)(-4)=-12 \le 0$ ✓. Per $x=2{,}5$: $(2{,}5)(0{,}5)(-0{,}5)=-0{,}625\le 0$ ✓. Per $x=4$: $(4)(2)(1)=8 > 0$ ✓ (giustamente fuori dalla soluzione).

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