Una disequazione completa dall'inizio alla fine

L’esempio conclusivo mette insieme tutti i passi: scomposizione di numeratore e denominatore, quattro capisaldi, tabella dei segni completa e lettura della soluzione escludendo i punti di non esistenza.

Esempio — Una disequazione completa, dall'inizio alla fine

Risolvere $\dfrac{x^2+x-2}{x^2-9} \ge 0$.

Scomposizione: $\frac{x^2+x-2}{x^2-9} = \frac{(x+2)(x-1)}{(x+3)(x-3)}.$ Capisaldi: $-3$ (denominatore), $-2$ (numeratore), $1$ (numeratore), $3$ (denominatore).

	$x<-3$	$x=-3$	$-3<x<-2$	$x=-2$	$-2<x<1$	$x=1$	$1<x<3$	$x=3$	$x>3$
$x+3$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x+2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
prodotto	$+$	$\nexists$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$\nexists$	$+$

Soluzione: $\ge 0$ (segno $+$ o zero), escludendo $x=\pm 3$: $\boxed{x < -3 \;\;\text{oppure}\;\; -2\le x\le 1 \;\;\text{oppure}\;\; x > 3}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Punto di non esistenza · Scomposizione · Studio del segno · Tabella dei segni
Competenze: Risolvere disequazioni · Scomporre