Disequazione fratta con denominatore comune

Quando compaiono più frazioni, si porta tutto a un’unica frazione senza mai cancellare il denominatore. Gli zeri del denominatore restano punti di non esistenza.

Esempio — Disequazione fratta con denominatore comune

Risolvere $\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+2} > 0$.

Errore tipico: fare il denominatore comune come si fa con le equazioni e poi cancellarlo. Mai farlo!

Procedura corretta: portare a un’unica frazione senza eliminarla: $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2} = \frac{(x+2)-(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{3}{(x-1)(x+2)}.$ La disequazione diventa $\dfrac{3}{(x-1)(x+2)} > 0$. Poiché $3>0$, basta studiare il segno di $(x-1)(x+2)$:

	$x<-2$	$x=-2$	$-2<x<1$	$x=1$	$x>1$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$(x-1)(x+2)$	$+$	$\nexists$	$-$	$\nexists$	$+$

Le colonne $x=-2$ e $x=1$ (segnate con $\nexists$) sono punti di non esistenza, perché annullavano il denominatore originale.

Soluzione: $\boxed{x<-2 \;\text{oppure}\; x>1}$.

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Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Punto di non esistenza · Studio del segno · Tabella dei segni
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