Disequazione fratta semplice

Nelle disequazioni fratte lo zero del denominatore è un punto di non esistenza: va sempre escluso dalla soluzione. Nella tabella dei segni lo segnaliamo con una doppia barra (“d”).

Esempio — Disequazione fratta semplice

Risolvere $\dfrac{(x+1)(x-2)}{x-4} \ge 0$.

Capisaldi: $x=-1$, $x=2$ (zeri del numeratore), $x=4$ (zero del denominatore — e punto di non esistenza).

	$x<-1$	$x=-1$	$-1<x<2$	$x=2$	$2<x<4$	$x=4$	$x>4$
$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-4$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$\nexists$	$+$
$\dfrac{(x+1)(x-2)}{x-4}$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$\nexists$	$+$

La colonna $x=4$ (segnata con $\nexists$, “non esiste”) ricorda che in quel punto la frazione non è definita.

Soluzione: cerchiamo dove $\ge 0$ (segno $+$ o zero), escludendo $x=4$: $\boxed{-1\le x\le 2 \;\;\text{oppure}\;\; x > 4}$

Attenzione: l’intervallo $x>4$ è aperto a sinistra: in $x=4$ la frazione non esiste. Sarebbe un errore scrivere $x\ge 4$.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Punto di non esistenza · Studio del segno · Tabella dei segni
Metodi: Disequazioni fratte segni · Studio segno prodotto
Competenze: Risolvere disequazioni