Inventare equazioni di secondo grado con radici assegnate

Testo

Inventa un’equazione di secondo grado che abbia:

• (a) una soluzione positiva e una negativa;
• (b) due soluzioni positive;
• (c) due soluzioni negative.

In ciascun caso verifica che le soluzioni esistano.

Soluzione

Usiamo le formule di Viète: se un’equazione monica $x^2-s\,x+p=0$ ha radici $x_1,x_2$, allora $s=x_1+x_2$ (somma) e $p=x_1 x_2$ (prodotto). I segni delle radici si controllano proprio con $s$ e $p$:

• prodotto $p<0$ $\Rightarrow$ radici discordi (una positiva e una negativa);
• prodotto $p>0$ e somma $s>0$ $\Rightarrow$ entrambe positive;
• prodotto $p>0$ e somma $s<0$ $\Rightarrow$ entrambe negative.

L’esistenza di due radici reali richiede in ogni caso $\Delta=s^2-4p\ge0$ (con $\Delta>0$ per radici distinte).

(a) Una positiva e una negativa. Scegliamo le radici $x_1=2$, $x_2=-3$. $s=2+(-3)=-1,\quad p=2\cdot(-3)=-6 \;\Rightarrow\; x^2+x-6=0.$ $\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25>0.$ Le radici esistono; poiché $p=-6<0$ sono discordi, come voluto.

(b) Due positive. Scegliamo le radici $x_1=2$, $x_2=3$. $s=5,\quad p=6 \;\Rightarrow\; x^2-5x+6=0.$ $\Delta=(-5)^2-4\cdot6=25-24=1>0.$ Le radici esistono; $p=6>0$ e $s=5>0$, quindi entrambe positive.

(c) Due negative. Scegliamo le radici $x_1=-2$, $x_2=-3$. $s=-5,\quad p=6 \;\Rightarrow\; x^2+5x+6=0.$ $\Delta=5^2-4\cdot6=25-24=1>0.$ Le radici esistono; $p=6>0$ e $s=-5<0$, quindi entrambe negative. $\boxed{\text{(a) } x^2+x-6=0 \qquad \text{(b) } x^2-5x+6=0 \qquad \text{(c) } x^2+5x+6=0}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Discriminante · Equazione secondo grado · Formule di vieta · Somma e prodotto delle radici
Competenze: Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione