Equazioni fratte con condizioni di esistenza

Testo

Risolvi le seguenti equazioni fratte, indicando le condizioni di esistenza:

• (a) $\dfrac{2}{3+2x}-\dfrac{1}{3-2x}=0$;
• (b) $\dfrac{3}{x^2-3x+2}-\dfrac{1}{2-x}=0$.

Soluzione

(a) Condizioni di esistenza: $3+2x\neq0$ e $3-2x\neq0$, cioè $x\neq\pm\dfrac32$. Denominatore comune $(3+2x)(3-2x)$: $\frac{2(3-2x)-(3+2x)}{(3+2x)(3-2x)}=\frac{6-4x-3-2x}{(3+2x)(3-2x)}=\frac{3-6x}{(3+2x)(3-2x)}=0.$ Il numeratore si annulla: $3-6x=0 \implies x=\frac12.$ Poiché $\dfrac12\neq\pm\dfrac32$, la soluzione è accettabile.

(b) Scomponiamo: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ e $2-x=-(x-2)$. Condizioni di esistenza: $x\neq1$ e $x\neq2$. L’equazione diventa: $\frac{3}{(x-1)(x-2)}-\frac{1}{-(x-2)}=\frac{3}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{x-2}=0.$ Denominatore comune $(x-1)(x-2)$: $\frac{3+(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+2}{(x-1)(x-2)}=0 \implies x+2=0 \implies x=-2.$ Poiché $-2\neq1,2$, la soluzione è accettabile. $\boxed{x_a=\frac12,\qquad x_b=-2}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazione fratta · Equazione secondo grado
Competenze: Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione