Equazioni fratte: due esercizi

Testo

Risolvi le seguenti equazioni fratte:

• (a) $1+\dfrac{2}{3-2x}=0$;
• (b) $\dfrac{2}{x^2-2x+1}-\dfrac{1}{1-x}=0$.

Soluzione

(a) Condizione di esistenza: $3-2x\neq0$, cioè $x\neq\dfrac32$. Riducendo allo stesso denominatore: $1+\frac{2}{3-2x}=\frac{(3-2x)+2}{3-2x}=\frac{5-2x}{3-2x}=0.$ Una frazione è nulla quando lo è il numeratore (e il denominatore no): $5-2x=0 \implies x=\frac52.$ Poiché $\dfrac52\neq\dfrac32$, la soluzione è accettabile.

(b) Osserviamo che $x^2-2x+1=(x-1)^2$ e $1-x=-(x-1)$. Condizione di esistenza: $(x-1)^2\neq0$, cioè $x\neq1$. L’equazione diventa: $\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{1}{-(x-1)}=\frac{2}{(x-1)^2}+\frac{1}{x-1}=0.$ Denominatore comune $(x-1)^2$: $\frac{2+(x-1)}{(x-1)^2}=\frac{x+1}{(x-1)^2}=0 \implies x+1=0 \implies x=-1.$ Poiché $-1\neq1$, la soluzione è accettabile. $\boxed{x_a=\frac52,\qquad x_b=-1}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazione fratta · Equazione secondo grado
Competenze: Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione