Il caso del discriminante nullo

Testo

Mostrare che in $y^3+py+q=0$ con $D=0$ l’equazione ha una radice doppia e una radice semplice, ed esprimere entrambe in funzione di $q$.

Soluzione

Nella forma depressa manca il termine di secondo grado, quindi la somma delle tre radici è $0$. Se la radice doppia è $s$ e quella semplice è $t$, allora $2s+t=0 \implies t=-2s.$ Il prodotto delle radici di $y^3+py+q$ vale $-q$, dunque $s\cdot s\cdot t = -q \implies s^2(-2s)=-q \implies s^3=\frac{q}{2} \implies s=\sqrt[3]{\frac{q}{2}}.$ Quindi la radice doppia è $\boxed{y_1=y_2=\sqrt[3]{q/2}}$ e quella semplice è $\boxed{y_3=-2\sqrt[3]{q/2}}$.

Coerenza con Cardano. Quando $D=0$ i due radicandi coincidono: $-\dfrac q2\pm\sqrt D=-\dfrac q2$. La formula dà allora $y = 2\sqrt[3]{-\frac q2} = -2\sqrt[3]{\frac q2} = y_3,$ cioè il valore principale della formula di Cardano restituisce proprio la radice semplice. Verifica sull’esempio $y^3-3y+2=0$ (dove $p=-3,q=2,D=0$): si ha $s=\sqrt[3]{1}=1$ doppia e $t=-2$ semplice, in accordo con $(y-1)^2(y+2)=0$. ∎

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Discriminante cubica · Equazione terzo grado
Metodi: Cardano cubica
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione