Il numero aureo

Un radicale annidato infinito si calcola osservando che la parte interna, essendo infinita, è uguale all’intera espressione: da qui nasce un’equazione di secondo grado.

Esempio — Il numero aureo

Sia $S = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}$.

La parte che si ripete è $S$ stesso: $S = \sqrt{1+S}$.

C.E.: $1+S\ge 0$ (soddisfatta per $S\ge 0$). C.C.S.: $S\ge 0$.

Elevando al quadrato: $S^2 = 1+S \implies S^2-S-1=0$. $S = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ Scartando la soluzione negativa: $\boxed{S = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1{,}618}$ (la sezione aurea).

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione secondo grado · Radicale annidato · Sezione aurea
Competenze: Risolvere equazioni