Che cos'è una frazione continua

Le frazioni continue sono un modo alternativo di rappresentare i numeri: un numero razionale dà una frazione continua finita, un irrazionale ne dà una infinita. Quando una frazione continua infinita è periodica, il trucco per calcolarne il valore è sfruttare la sua struttura autoripetente e ricondursi a un’equazione di secondo grado.

Esempio — Calcolo di una frazione continua infinita

Sia $f = 1 + \cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cdots}}}$ Osserviamo che $\dfrac{5}{3} < f < 3$.

Trucco: la parte che si ripete è uguale all’intera espressione, quindi: $f = 1 + \frac{2}{f} \implies f^2 = f + 2 \implies f^2-f-2=0 \implies \boxed{f = 2}$ (scartando $f=-1$ perché $f>0$).

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione secondo grado · Frazione continua
Competenze: Risolvere equazioni