Esempio di sistema simmetrico

Vediamo il metodo somma-prodotto all’opera su un sistema fratto e simmetrico.

Esempio

$\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{12}{35} \\[6pt] \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{74}{35} \end{cases} \qquad\text{C.E.: } x\neq 0,\, y\neq 0.$ La prima equazione dà $\dfrac{S}{P}=\dfrac{12}{35}$; la seconda $\dfrac{S^2-2P}{P}=\dfrac{74}{35}$.

Dalla prima: $P=\dfrac{35S}{12}$. Sostituendo nella seconda: $35S^2 - 144P = 0 \implies 35S^2-144\cdot\frac{35S}{12}=0 \implies 35S(S-12)=0.$ $S=0$ non è accettabile (C.E.), dunque $S=12$, $P=35$. $t^2-12t+35=0 \implies (t-7)(t-5)=0 \implies \boxed{(x,y)=(7,5) \text{ o } (5,7)}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Sistema simmetrico · Somma e prodotto radici
Metodi: Somma prodotto radici
Competenze: Risolvere sistemi