Che cos'è un teorema?

Prima di dimostrare qualsiasi risultato è importante capire cosa stiamo facendo quando dimostriamo. Questa sezione introduce il vocabolario di base del ragionamento matematico: che cos’è un teorema, quali sono i passi logici di una dimostrazione, come funziona il sillogismo (anche nella forma “per assurdo”), e come i teoremi si organizzano in una teoria a partire dai postulati. Chiude la distinzione, sottile ma cruciale, tra definizione e proprietà.

• Che cos’è un teorema
• I passi logici di una dimostrazione
• Il sillogismo
• Dimostrazione per assurdo
• Teoria, postulati e teoremi
• Lemma, teorema e corollario
• Definizioni e proprietà

Before proving any result it is important to understand what we are doing when we prove. This section introduces the basic vocabulary of mathematical reasoning: what a theorem is, what the logical steps of a proof are, how the syllogism works (also in the “by contradiction” form), and how theorems are organised into a theory starting from the postulates. It closes with the subtle but crucial distinction between definition and property.

• What a theorem is
• The logical steps of a proof
• The syllogism
• Proof by contradiction
• Theory, postulates and theorems
• Lemma, theorem and corollary
• Definitions and properties

In geometria non si calcola: si dimostra. Il risultato di una dimostrazione si chiama teorema, ed è sempre costruito nello stesso modo: si parte da alcuni fatti dati per veri e si arriva, passo dopo passo, a stabilirne di nuovi.

Definizione — Teorema

Un teorema è una catena di ragionamenti che parte da un insieme di fatti noti e dati per scontati, chiamati ipotesi (Hp), per arrivare a dimostrare in modo necessario e indefettibile nuovi fatti, chiamati tesi (Th). $\text{Hp} \;\longrightarrow\; \text{Th}$

La freccia si legge “implica”: se valgono le ipotesi, allora vale necessariamente la tesi. Distinguere con chiarezza ciò che è dato (Hp) da ciò che si deve dimostrare (Th) è il primo passo di ogni dimostrazione.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Dimostrazione · Ipotesi tesi · Teorema
Competenze: Dimostrare

In geometry one does not calculate: one proves. The result of a proof is called a theorem, and it is always built in the same way: one starts from some facts taken as true and arrives, step by step, at establishing new ones.

Definition — Theorem

A theorem is a chain of reasoning that starts from a set of known facts taken for granted, called hypotheses (Hp), in order to prove, in a necessary and inescapable way, new facts, called the thesis (Th). $\text{Hp} \;\longrightarrow\; \text{Th}$

The arrow reads “implies”: if the hypotheses hold, then the thesis necessarily holds. Distinguishing clearly what is given (Hp) from what is to be proved (Th) is the first step of every proof.

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Proof · Hypothesis and thesis · Theorem
Skills: Proving

Ogni passaggio di una dimostrazione svolge un ruolo logico preciso. Riconoscere il tipo di ciascun passo aiuta a scriverla in modo ordinato e a leggerla senza perdersi.

Osservazione — I tipi di passo logico

• Ipotesi: dato di partenza, ciò che è noto.
• Tesi: ciò che si vuole dimostrare.
• Costruzione: elemento ausiliario introdotto nel disegno (un segmento, una parallela, un’altezza…).
• Osservo: fatto che si nota direttamente dalla figura o dalla definizione.
• Considero: si esamina un oggetto specifico (un triangolo, un angolo, un segmento).
• Idea chiave: l’intuizione centrale della dimostrazione.
• Deduco: conclusione logica che segue dai passaggi precedenti.
• Analogamente: si ripete lo stesso ragionamento su un altro oggetto.
• Verificato: risultato acquisito, che si può usare nei passi successivi.

Il simbolo $\blacksquare$ (o la sigla q.e.d.) segna la fine della dimostrazione.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Dimostrazione · Ipotesi tesi
Competenze: Dimostrare

Every step of a proof plays a precise logical role. Recognising the type of each step helps to write it in an orderly way and to read it without getting lost.

Remark — The types of logical step

• Hypothesis: starting datum, what is known.
• Thesis: what one wishes to prove.
• Construction: an auxiliary element introduced in the drawing (a segment, a parallel, an altitude…).
• I observe: a fact noticed directly from the figure or from the definition.
• I consider: a specific object is examined (a triangle, an angle, a segment).
• Key idea: the central insight of the proof.
• I deduce: a logical conclusion following from the previous steps.
• Similarly: the same reasoning is repeated on another object.
• Verified: an established result, which can be used in the following steps.

The symbol $\blacksquare$ (or the abbreviation q.e.d.) marks the end of the proof.

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Proof · Hypothesis and thesis
Skills: Proving

Il ragionamento tipico di una dimostrazione è il sillogismo: da due premesse si trae una conclusione necessaria.

Esempio — Sillogismo

1. “Ogni uomo è mortale” (ipotesi — relazione)
2. “Gianni è un uomo” (ipotesi — proprietà)
3. Dunque: “Gianni è mortale” (tesi)

In termini insiemistici: $\{\text{uomini}\}\subset\{\text{mortali}\}$, e Gianni $\in\{\text{uomini}\}$.

Attenzione però a non invertire il verso dell’inclusione: è un errore logico frequentissimo.

Attenzione — Sillogismo errato

“Tutti gli uomini hanno il naso” e “Iacopo ha il naso” non implica “Iacopo è un uomo”. L’insieme degli uomini è contenuto nell’insieme di chi ha il naso, ma non viceversa.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Dimostrazione · Sillogismo
Competenze: Dimostrare

The typical reasoning of a proof is the syllogism: from two premises a necessary conclusion is drawn.

Example — Syllogism

1. “Every man is mortal” (hypothesis — relation)
2. “Gianni is a man” (hypothesis — property)
3. Therefore: “Gianni is mortal” (thesis)

In set-theoretic terms: $\{\text{uomini}\}\subset\{\text{mortali}\}$, and Gianni $\in\{\text{uomini}\}$.

Be careful, however, not to reverse the direction of the inclusion: it is a very frequent logical error.

Caution — Faulty syllogism

“All men have a nose” and “Iacopo has a nose” does not imply “Iacopo is a man”. The set of men is contained in the set of those who have a nose, but not vice versa.

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Proof · Syllogism
Skills: Proving

Una variante del sillogismo dà origine a una delle tecniche più potenti della matematica: la dimostrazione per assurdo.

Esempio — Sillogismo per assurdo

“Ogni uomo è mortale” e “Zeus è immortale” $\implies$ “Zeus non è un uomo”.

Questo schema è alla base della dimostrazione per assurdo: si assume vera la negazione della tesi e si giunge a una contraddizione con le ipotesi. Poiché la contraddizione è inaccettabile, la negazione della tesi è falsa e quindi la tesi è vera.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Dimostrazione per assurdo · Sillogismo
Competenze: Dimostrare

A variant of the syllogism gives rise to one of the most powerful techniques in mathematics: proof by contradiction.

Example — Syllogism by contradiction

“Every man is mortal” and “Zeus is immortal” $\implies$ “Zeus is not a man”.

This scheme is the basis of proof by contradiction: one assumes the negation of the thesis to be true and reaches a contradiction with the hypotheses. Since the contradiction is unacceptable, the negation of the thesis is false and therefore the thesis is true.

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Proof by contradiction · Syllogism
Skills: Proving

I teoremi non vivono isolati: si appoggiano gli uni agli altri, e le tesi già dimostrate diventano ipotesi per nuovi teoremi. Tutto questo edificio deve però poggiare su qualcosa che non si dimostra.

Definizione — Teoria

Una teoria è un insieme di teoremi interconnessi, le cui tesi diventano ipotesi di altri teoremi, costruendo un’architettura di dimostrazioni che poggia su ipotesi primitive chiamate postulati (o assiomi). I postulati non si dimostrano: si accettano “per fede matematica”.

Alla base ci sono dunque i postulati; da essi si deducono i primi teoremi, che a loro volta permettono di dimostrarne altri, in una struttura a strati.

I postulati (in basso) sostengono i teoremi, che a loro volta ne sostengono altri: la teoria cresce a strati.

Storia — Dagli Elementi ai Grundlagen

Il primo a costruire una teoria in questo modo, partendo da pochi postulati per dedurre tutto il resto, fu Euclide negli Elementi (circa 300 a.C.). Il suo edificio resse per più di duemila anni, ma un esame rigoroso rivelò che in molte dimostrazioni Euclide usava, senza dichiararle, ipotesi “ovvie” dalla figura (ad esempio che due cerchi si incontrino, o che un punto stia “fra” altri due). Alla fine dell’Ottocento David Hilbert rifondò l’intera geometria nei Grundlagen der Geometrie (1899), riducendola a cinque gruppi di assiomi e a termini primitivi — punto, retta, piano — che non vengono più definiti ma prendono senso solo dagli assiomi stessi (Boyer; Kline).

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Postulato · Teorema · Teoria
Competenze: Dimostrare
Persone: David Hilbert · Euclide

Theorems do not live in isolation: they lean on one another, and theses already proved become hypotheses for new theorems. This whole edifice must, however, rest on something that is not proved.

Definition — Theory

A theory is a set of interconnected theorems, whose theses become hypotheses of other theorems, building an architecture of proofs that rests on primitive hypotheses called postulates (or axioms). Postulates are not proved: they are accepted “on mathematical faith”.

At the base, therefore, lie the postulates; from them the first theorems are deduced, which in turn allow others to be proved, in a layered structure.

The postulates (at the bottom) support the theorems, which in turn support others: the theory grows in layers.

History — From the Elements to the Grundlagen

The first to build a theory this way, starting from a few postulates in order to deduce everything else, was Euclid in the Elements (around 300 BC). His edifice stood for more than two thousand years, but a rigorous examination revealed that in many proofs Euclid used, without stating them, “obvious” assumptions taken from the figure (for instance, that two circles meet, or that a point lies “between” two others). At the end of the nineteenth century David Hilbert refounded the whole of geometry in his Grundlagen der Geometrie (1899), reducing it to five groups of axioms and to primitive terms — point, line, plane — that are no longer defined but take on meaning only from the axioms themselves (Boyer; Kline).

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Postulate · Theorem · Theory
Skills: Proving
People: Euclid · David Hilbert

Nella pratica matematica non tutti i risultati hanno lo stesso “peso”. Si usano tre nomi diversi a seconda del ruolo che un risultato svolge.

Osservazione — Lemma, teorema, corollario

• Un lemma è un risultato “di servizio”, dimostrato per essere usato nella dimostrazione di un teorema più importante.
• Un teorema è il risultato principale.
• Un corollario è una conseguenza immediata di un teorema già dimostrato.

I lemmi preparano il teorema; dal teorema discendono immediatamente i corollari.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Corollario · Lemma · Teorema

In mathematical practice not all results carry the same “weight”. Three different names are used depending on the role a result plays.

Remark — Lemma, theorem, corollary

• A lemma is a “service” result, proved in order to be used in the proof of a more important theorem.
• A theorem is the main result.
• A corollary is an immediate consequence of an already proved theorem.

The lemmas prepare the theorem; from the theorem the corollaries follow immediately.

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Corollary · Lemma · Theorem

Nel linguaggio comune “definizione” e “proprietà” si confondono spesso, ma in geometria hanno significati ben distinti. La differenza sta nel fatto che una definizione identifica in modo univoco l’oggetto, mentre una proprietà no.

Osservazione — Definizione contro proprietà

Una proprietà è una caratteristica di un oggetto geometrico che non lo identifica in modo univoco (altri oggetti possono condividerla). Una definizione è una descrizione che corrisponde esclusivamente a quell’oggetto.

• “Un quadrato ha 4 lati” $\to$ proprietà (anche i rettangoli hanno 4 lati).
• “Un quadrato è un quadrilatero con i 4 lati e i 4 angoli reciprocamente congruenti” $\to$ definizione.
• “Un quadrato è un rettangolo con le diagonali perpendicolari” $\to$ definizione (due proprietà insieme identificano univocamente il quadrato).

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Definizione · Proprieta

In everyday language “definition” and “property” are often confused, but in geometry they have quite distinct meanings. The difference lies in the fact that a definition identifies the object uniquely, whereas a property does not.

Remark — Definition versus property

A property is a characteristic of a geometric object that does not identify it uniquely (other objects may share it). A definition is a description that corresponds exclusively to that object.

• “A square has 4 sides” $\to$ property (rectangles also have 4 sides).
• “A square is a quadrilateral with the 4 sides and the 4 angles mutually congruent” $\to$ definition.
• “A square is a rectangle with perpendicular diagonals” $\to$ definition (two properties together uniquely identify the square).

Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Definition · Property

L’idea che una teoria matematica debba poggiare su pochi postulati accettati senza dimostrazione ha una storia lunga più di duemila anni, e in questi due millenni è cambiato profondamente il significato stesso della parola “postulato”.

Il modello di Euclide

Intorno al 300 a.C. Euclide raccolse nei suoi Elementi tutta la geometria del suo tempo, organizzandola per la prima volta in modo deduttivo: cinque postulati, cinque nozioni comuni e alcune definizioni, e da lì, un teorema dopo l’altro, 465 proposizioni. Per Euclide i postulati erano verità evidenti: affermazioni così ovvie da non aver bisogno di prova, come “per due punti passa una e una sola retta”.

Uno dei cinque, però, non sembrava affatto ovvio: il quinto postulato, quello delle parallele. Nella formulazione equivalente dovuta a Playfair dice che, data una retta e un punto fuori di essa, esiste una sola parallela alla retta passante per quel punto. Per secoli i matematici sospettarono che fosse un teorema nascosto e tentarono di dedurlo dagli altri quattro. Tutti fallirono.

La scoperta delle geometrie non euclidee

Nell’Ottocento si capì perché tutti quei tentativi erano falliti: il quinto postulato è indipendente dagli altri. Negandolo non si arriva a nessuna contraddizione, ma a nuove geometrie perfettamente coerenti. Carl Friedrich Gauss vi arrivò per primo, ma non pubblicò nulla; furono Nikolaj Lobačevskij e, indipendentemente, János Bolyai a dare alle stampe, intorno al 1830, una geometria in cui per un punto passano infinite parallele e la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di $180°$.

La conseguenza fu una rivoluzione concettuale: un postulato non è più una “verità” sul mondo, ma una libera assunzione. L’unico requisito che le si chiede non è di essere vera, ma di essere coerente (non generare contraddizioni).

I Grundlagen di Hilbert

Guardata con questo occhio più critico, anche l’opera di Euclide mostrava delle crepe: in diverse dimostrazioni egli usava, senza dichiararli, fatti “letti dalla figura” — per esempio che un punto stia fra altri due, o che due cerchi si intersechino. Nel 1882 Moritz Pasch fu il primo a rendere esplicite queste ipotesi d’ordine (l‘“assioma di Pasch” sui triangoli).

Il coronamento arrivò nel 1899 con i Grundlagen der Geometrie (“Fondamenti della geometria”) di David Hilbert. Hilbert riorganizzò tutta la geometria elementare in cinque gruppi di assiomi — di incidenza, di ordine, di congruenza, delle parallele e di continuità — colmando ogni lacuna di Euclide. La sua idea più radicale riguarda i termini primitivi: punto, retta e piano non vengono più definiti né disegnati, ma prendono senso solo da ciò che gli assiomi dicono di loro. Hilbert lo espresse con una battuta rimasta celebre: si deve poter dire, in ogni momento, “invece di punti, rette e piani: tavoli, sedie e boccali di birra”. Ciò che conta non è cosa siano quegli oggetti, ma quali relazioni soddisfino.

Nasce così il metodo assiomatico moderno: gli assiomi non descrivono verità evidenti, ma definiscono implicitamente gli oggetti di cui parlano, e si giudicano in base a coerenza, indipendenza e completezza. È lo stesso metodo con cui, ancora oggi, si fonda ogni teoria matematica (Boyer; Kline; Katz).

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Postulato · Teoria
Persone: David Hilbert · Euclide · Carl Friedrich Gauss · János Bolyai · Moritz Pasch · Nikolaj Lobačevskij

The idea that a mathematical theory must rest on a few postulates accepted without proof has a history more than two thousand years long, and over these two millennia the very meaning of the word “postulate” changed profoundly.

Euclid’s model

Around 300 BC Euclid gathered in his Elements all the geometry of his time, organising it for the first time deductively: five postulates, five common notions and a handful of definitions, and from there, one theorem after another, 465 propositions. For Euclid the postulates were self-evident truths: statements so obvious as to need no proof, such as “through two points passes one and only one straight line”.

One of the five, however, did not seem obvious at all: the fifth postulate, the one about parallels. In the equivalent formulation due to Playfair it states that, given a line and a point outside it, there is exactly one parallel to the line through that point. For centuries mathematicians suspected it was a hidden theorem and tried to deduce it from the other four. Everyone failed.

The discovery of non-Euclidean geometries

In the nineteenth century it was understood why all those attempts had failed: the fifth postulate is independent of the others. Denying it leads to no contradiction, but to new, perfectly consistent geometries. Carl Friedrich Gauss reached this conclusion first, but published nothing; it was Nikolai Lobachevsky and, independently, János Bolyai who published, around 1830, a geometry in which through a point pass infinitely many parallels and the sum of the interior angles of a triangle is less than $180°$.

The consequence was a conceptual revolution: a postulate is no longer a “truth” about the world, but a free assumption. The only requirement asked of it is not to be true, but to be consistent (to generate no contradictions).

Hilbert’s Grundlagen

Seen with this more critical eye, even Euclid’s work showed cracks: in several proofs he used, without stating them, facts “read off the figure” — for instance that a point lies between two others, or that two circles intersect. In 1882 Moritz Pasch was the first to make these order assumptions explicit (the “Pasch axiom” about triangles).

The crowning achievement came in 1899 with the Grundlagen der Geometrie (“Foundations of Geometry”) of David Hilbert. Hilbert reorganised all of elementary geometry into five groups of axioms — of incidence, of order, of congruence, of parallels and of continuity — filling every gap left by Euclid. His most radical idea concerns the primitive terms: point, line and plane are no longer defined or drawn, but take on meaning only from what the axioms say about them. Hilbert put it in a remark that has become famous: one must be able to say, at any moment, “instead of points, lines and planes: tables, chairs and beer mugs”. What matters is not what those objects are, but which relations they satisfy.

This is how the modern axiomatic method was born: axioms do not describe self-evident truths, but implicitly define the objects they speak of, and are judged by consistency, independence and completeness. It is the same method by which, still today, every mathematical theory is founded (Boyer; Kline; Katz).

Links

Topics: Euclidean geometry Concepts: Postulate · Theory People: Euclid · Gauss · Nikolai Lobachevsky · János Bolyai · Moritz Pasch · David Hilbert